Die Mathematik ist die Geisteswissenschaft, die sich mit der Formalisierung abstrakter Zusammenhänge an sich beschäftigt. Beginnend bei Zahlen und noch einfacheren Symbolen baut sie in ihren Teilgebieten immer komplexer werdende Strukturen und Formalismen dazu auf, die unsere Welt in abstrakter Form allgemein beschreiben. Ihre Ergebnisse werden in allen anderen Wissenschaften benutzt, ebenso wie dort z.B. die natürliche Sprache der Linguistik benutzt wird.

• WikiDiki[>] – ein lesenswerter Artikel.

Die Mathematik ist nicht die grundlegende Wissenschaft, sie gehört aber zu den achtzehn reinen Wissenschaften nach der IS-Systematik der Wissenschaften. Sie basiert auf ihrer Hauptwissenschaft, der Logik, die ihr ein Fundament (inhaltlich und methodisch) gibt, und der Linguistik, von der das Prinzip der Sprache (Bezeichner, Sätze, ...) kommt.

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Links zur Mathematik

< cool stuff >

• Mathematik als Geisteswissenschaft[>] – von Helmut Hasse (Uni Heidelberg, 1953)

• Die Welt läßt sich nicht berechnen[>] – von Claus Peter Ortlieb (Uni Hamburg, 2011)

• Millenium-Probleme[>] – die sieben wichtigsten ungelösten Probleme von 2000 (USA): eines wurde gelöst.
• Hilbertsche Probleme[>] – die 23 wichtigsten ungelösten Probleme von 1900 (Deutschland): dreizehn wurden gelöst.
• Grigori Jakowlewitsch Perelman[>] – (geb. 1966) - verrücktes Superhirn á la Sheldon Cooper, nur ohne das Geblödel. Perelman hat 2002 auf 77? Seiten einen komprimierten Beweis für das Millenium-Problem Poincaré-Vermutung (Topologie) vorgelegt, der akzeptiert wurde.

Einordnung der Mathematik

Der Untersuchungsgegenstand der Mathematik ist beschränkt auf die formale Beschreibung von sog. einfachen Gegenständen. Damit grenzt sie sich von der Linguistik ab, die die Sprache bei Lebewesen untersucht. Zu den hier einfachen Gegenständen zählen die logischen Gegenstände, insbesondere Zahlen und anderer Werte.

Das Untersuchungsziel der Mathematik ist die Veränderung dieser einfachen Gegenstände durch Formeln und Formalismen. Damit grenz sie sich einerseits von ihrer Hauptwissenschaft Logik ab, die direkt die Natur der einfachen Gegenstände untersucht und andererseits von der Wissensverarbeitung, die sich aus der theoretischen Informatik herausgebildet hat, und das Verhalten von Wahrheitswerten (Information) auf einer tieferen Ebene untersucht.

Der Untersuchungsort der Mathematik ist die Innenperspektive der Geisteswissenschaften. Damit ist sie die Schwesternwissenschaft der Chemie bei den Naturwissenschaften.

Grundlegende Begriffe und Ergebnisse werden aus den folgenden Disziplinen vorausgesetzt:

• Logik – die Lehre von Prädikaten, Aussagen und Schlüssen.
• Linguistik – die Lehre von der Sprache, als Abbildung der Welt in die Innensicht.

Die Begriffe und Ergebnisse der Mathematik wiederum werden vorausgesetzt für die folgenden Disziplinen:

• Physik – die Lehre vom grundlegenden Aufbau von Materie, Energie und Feldern.
• Chemie – die Lehre von der Synthese, der Veränderung von Stoffen.

(Mathematik wird natürlich in allen Wissenschaften verwendet, aber ist dort keine Grundlage, mit der man anfängt.)

Teilgebiete und Theorien der Mathematik

Es gibt einige Teilgebiete der Mathematik, die als fundamental angesehen werden. Das heißt, sie beginnen innerhalb der Mathematik von vorne, sind aber aus anderen Disziplinen hervorgegangen, sie mussten sich erst herauskristallisieren.

Mengenlehre

Mengen sind Zusammenfassungen von Objekten. Seit Georg Cantor, Ende des 19. Jh., bis zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Die gesamte Mathematik baut heute auf den Axiomen der Mengenlehre auf.

Ausgangspunkt: Grundrelation "ist_Element_von"

Leere Menge: A enthält kein Element.

Teilmenge: alle Elemente von A sind auch Elemente von B.

Kartesisches Produkt: Menge aller Paare

Potenzmenge: Menge aller Teilmengen

Kardinalzahl: Mächtigkeit

Algebra

Hier geht es um Rechenoperatoren und Gleichungen. Die algebraische Methode ist das Rechnen mit Buchstaben statt Zahlen. Gruppentheorie(?)

Seit Babylon und Ägypten 2000 v.Chr., Griechenland 1.Jh. v.Chr., Indien 5. Jh., Arabien 9. Jh., moderne Algebra seit den 1920ern.

Ausgangspunkt: Magma: eine Menge mit einem inneren Operator. -> Monoide, Gruppen, Ringe, Körper.

Elementare Algebra: Schulmathematik, Gleichungen.

Lineare Algebra: Moduln (Vektorräume)

Multilineare Algebra, Ringtheorie, Homologische Algebra

Topologie

Zweite Säule neben der Algebra. In der Topologie werden topologische Räume untersucht. Dies sind Mengen, auf denen eine topologische Struktur mit offenen Teilmengen definiert wird. Ein Spezialfall sind die metrischen Räume. Es geht um die Verformung (Homöomorphismus) von n-dimensionalen Körpern.

• WikiDiki[>] – eine gute Übersicht
  

Mengentheoretische Topologie – die Grundlagen der Topologie, die allgemeine Topologie.

Algebraische Topologie – topologische Räume werden mit Hilfe von algebraischen Strukturen untersucht. Homotopietheorie.

Geometrische Topologie – inklusive der 2002 gelösten (s.o. unter "Links") Poincaré-Vermutung.

• Graphentheorie – ?
• Knotentheorie – behandelt Knoten aus Linien, nicht die Knoten in Graphen.

Differentialtopologie – Morse-Theorie. Grundlage der Differentialgeometrie.

Analysis

Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Infinitesimalrechnung: Differentialrechnung, Integralrechnung, Differentialgleichungen.

Funktionentheorie (19. Jh.), Funktionanalysis (20. Jh.): topologische Vektorräume.